Классическое определение вероятности применимо, когда у случайного опыта конечное число равновозможных исходов. Тогда вероятность события — это доля благоприятных исходов среди всех. Ключевые инструменты для задания 4 ЕГЭ: прямой подсчёт по формуле $P=\\dfrac{m}{n}$, комбинаторика (сочетания и правила суммы/произведения), а также свойства вероятности — сложение несовместных, умножение независимых событий и переход к противоположному событию. Важно уметь отличать равновозможные исходы от неравновозможных: классическая схема работает только для симметричных опытов (правильная монета/кубик, случайный выбор наугад).
Формулы и свойства
Классическое определение вероятности
\[P(A)=\dfrac{m}{n}\]
$m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число равновозможных исходов
Границы вероятности
\[0\le P(A)\le 1\]
$P=0$ — невозможное событие, $P=1$ — достоверное
Вероятность противоположного события
\[P(\bar A)=1-P(A)\]
удобно, когда «прямых» исходов много, а «противоположных» мало (напр. «хотя бы один»)
Сложение несовместных событий
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]
только если $A$ и $B$ не могут произойти одновременно
Сложение произвольных событий
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
формула включений-исключений для совместных событий
Умножение независимых событий
\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\]
события независимы: наступление одного не меняет вероятности другого
Число сочетаний
\[C_n^k=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\]
число способов выбрать $k$ объектов из $n$ без учёта порядка
Правило произведения
\[N=n_1\cdot n_2\cdots n_k\]
если 1-й шаг можно сделать $n_1$ способами, 2-й — $n_2$ и т.д.
Вероятность через сочетания
\[P=\dfrac{C_{a}^{k}\cdot C_{b}^{\,r}}{C_{n}^{\,k+r}}\]
выбор наугад «нужных» и «остальных» объектов из партии
Условие применимости классической схемы
\[P(A)=\dfrac{m}{n}\]
исходов конечное число И они равновозможны; для «нечестных» кубиков/монет формула НЕ работает
Нормировка суммы вероятностей
\[\sum_i P(A_i)=1\]
сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1; сумма вероятностей полной группы несовместных событий тоже 1
Монотонность
\[A\subseteq B\ \Rightarrow\ P(A)\le P(B)\]
чем «шире» событие, тем больше его вероятность
Дополнение до 1
\[P(A)+P(\bar A)=1\]
основной приём для событий «хотя бы один», «не менее», «не все»
Совместность и несовместность
\[A\cap B=\varnothing\ \Rightarrow\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]
перед сложением проверь, могут ли события произойти вместе
Ежедневные разборы и задачи — в TelegramПодписаться
Как решать: методы
Прямой подсчёт по формуле m/n
Опыт с конечным числом равновозможных исходов, которые легко перечислить (кубик, монета, выбор одного объекта)
- Определи, что такое один исход опыта, и убедись, что исходы равновозможны
- Посчитай общее число исходов $n$
- Посчитай число благоприятных исходов $m$ (перебором или подсчётом)
- Раздели: $P=\dfrac{m}{n}$ и сократи дробь
- При необходимости округли/переведи в десятичную дробь по условию
Перебор исходов для двух кубиков / двух бросков
Бросают две кости, монету дважды, сумма/произведение очков, совпадения
- Зафиксируй пространство исходов: для двух кубиков это упорядоченные пары, всего $6\cdot 6=36$
- Выпиши или пересчитай пары, дающие нужное условие (например сумму 8)
- Число таких пар — это $m$
- $P=\dfrac{m}{36}$ и сократи
Метод противоположного события
Формулировки «хотя бы один», «не менее одного», «хотя бы раз», где прямой перебор громоздкий
- Сформулируй противоположное событие $\bar A$ (обычно «ни разу», «ни одного»)
- Найди $P(\bar A)$ — часто это произведение вероятностей «неудач»
- Вычисли $P(A)=1-P(\bar A)$
- Проверь: ответ должен лежать в $[0;1]$
Комбинаторный подсчёт через сочетания
Из партии/группы наугад берут несколько объектов, порядок не важен (детали, шары, команды)
- Общее число способов выбрать $k$ объектов из $n$: $C_n^k$ — это знаменатель
- Разбей нужный набор на части (годные/бракованные и т.п.) и посчитай число благоприятных выборов произведением сочетаний
- Подставь в $P=\dfrac{\text{благоприятные}}{C_n^k}$
- Сократи дробь и вычисли
Правило умножения для независимых испытаний
Несколько независимых стрелков/приборов/бросков, нужно «все сработали», «оба попали»
- Убедись, что события независимы (исход одного не влияет на другой)
- Перемножь вероятности нужных исходов: $P=p_1\cdot p_2\cdots$
- Для комбинированных условий разбей на несовместные случаи и сложи их вероятности
- Проверь границы результата
Дерево / разбиение на несовместные случаи
Событие происходит несколькими взаимоисключающими способами (например «ровно один из двух попал»)
- Перечисли все несовместные сценарии, дающие событие
- Для каждого сценария найди вероятность (обычно произведением)
- Сложи вероятности всех сценариев
- Убедись, что сценарии не пересекаются и покрывают всё событие
Приём с вероятностью-долей (частотный)
В условии заданы количества (сколько всего, сколько нужных), выбор наугад одного объекта
- Найди общее количество объектов $n$
- Найди количество «нужных» объектов $m$
- $P=\dfrac{m}{n}$; если условие про «не такой» объект — используй $\dfrac{n-m}{n}$
- Сократи дробь
Типичные ошибки
❌ ошибкаПрименять $P=\dfrac{m}{n}$ к неравновозможным исходам (например «выпадет или орёл, или два орла» как 1 из 2)
✅ верноСначала свести опыт к равновозможным элементарным исходам (упорядоченные пары бросков), и только потом считать долю
Классическая формула верна лишь для равновозможных исходов; иначе доля не равна вероятности
❌ ошибкаДля двух кубиков брать $n=11$ (суммы от 2 до 12) или считать пары $(2,5)$ и $(5,2)$ за одну
✅ верноПространство исходов — 36 упорядоченных пар; $(2,5)$ и $(5,2)$ различны
Суммы неравновозможны: сумма 7 встречается чаще суммы 2. Равновозможны именно пары
❌ ошибкаСкладывать вероятности событий, которые могут произойти одновременно, без вычитания пересечения
✅ верноДля совместных событий $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; складывать напрямую можно только несовместные
Иначе общие исходы учитываются дважды и вероятность завышается (может превысить 1)
❌ ошибкаСобытие «хотя бы один» считать как сумму вероятностей отдельных попаданий стрелков
✅ верноИспользовать $P=1-P(\text{ни одного})=1-\prod(1-p_i)$
Простое сложение переучитывает случаи, когда попали несколько; правильный путь — через противоположное событие
❌ ошибкаПеремножать вероятности зависимых событий (выбор без возврата) как независимых
✅ верноПри выборе без возврата пересчитывать состав после каждого шага или считать через сочетания $C_n^k$
После изъятия объекта меняются и число благоприятных, и общее число исходов
❌ ошибкаОставлять ответ несокращённой дробью или неверно округлять (0.375 записать как 0,4 без указания в условии)
✅ верноСократить дробь и округлять строго по требованию задания (обычно до сотых)
В ЕГЭ ответ сверяется точно; лишнее/неверное округление засчитывается как ошибка
Коротко
Коротко
- Классика работает ТОЛЬКО для равновозможных исходов (честный кубик/монета, выбор наугад).
- Вероятность всегда в пределах от 0 до 1; если получилось больше 1 — ошибка.
- Два кубика: всегда 36 упорядоченных пар, а не 11 сумм.
- «Хотя бы один» → считай через $1-P(\text{ни одного})$.
- Независимые события «и…и» → перемножай; несовместные «или…или» → складывай.
- Выбор без возврата → сочетания $C_n^k$ или пересчёт состава после каждого шага.
- Ответ сокращай и округляй строго как требует условие (обычно до сотых).
Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.
Забери бесплатные шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки одним файлом. Плюс ежедневные разборы в канале.
Забрать в боте