Логарифм числа — это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить это число. Тема охватывает определение логарифма и его свойства, вычисление значений выражений (задания 6 и 9), решение логарифмических уравнений (задание 13) и неравенств (задание 15). Ключ к успеху — жёсткий контроль ОДЗ и понимание того, что знак логарифмического неравенства зависит от того, больше или меньше единицы основание.
Формулы и свойства
Основное логарифмическое тождество
\[a^{\log_a b} = b,\quad a>0,\ a\neq 1,\ b>0\]
Прямое следствие определения логарифма.
Логарифм произведения
\[\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y,\quad x>0,\ y>0\]
Только для положительных x и y.
Логарифм частного
\[\log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x - \log_a y,\quad x>0,\ y>0\]
Разность логарифмов числителя и знаменателя.
Логарифм степени
\[\log_a x^{p} = p\,\log_a x,\quad x>0\]
Показатель выносится множителем.
Формула перехода к новому основанию
\[\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a},\quad c>0,\ c\neq 1\]
Позволяет привести логарифмы к одному основанию.
Логарифм со степенью в основании
\[\log_{a^{k}} b = \dfrac{1}{k}\log_a b,\qquad \log_{a^{k}} b^{m} = \dfrac{m}{k}\log_a b\]
Степень основания уходит в знаменатель.
Взаимно обратные логарифмы
\[\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a},\quad a,b>0,\ a,b\neq 1\]
Частный случай перехода к новому основанию.
Опорные значения
\[\log_a 1 = 0,\qquad \log_a a = 1,\qquad \log_a a^{k} = k\]
Запоминаются сразу, экономят время.
Освобождение множителя из-под знака (модуль)
\[\log_a x^{2} = 2\log_a |x|,\quad x\neq 0\]
Частая ловушка: при чётной степени появляется модуль.
Логарифмическое основное тождество (обратный порядок)
\[b^{\log_a c} = c^{\log_a b}\]
Полезно для упрощения громоздких выражений.
Условие существования логарифма
\[\log_a b \ \text{определён} \iff a>0,\ a\neq 1,\ b>0\]
Первое, что проверяем в любой задаче.
Монотонность и переход к аргументам (уравнение)
\[\log_a f = \log_a g \iff \begin{cases} f=g \\ f>0\ (\text{или } g>0)\end{cases}\]
Из равенства логарифмов следует равенство аргументов при учёте ОДЗ.
Знак неравенства при a>1
\[a>1:\quad \log_a f > \log_a g \iff f>g>0\]
Основание больше 1 — знак неравенства сохраняется.
Знак неравенства при 0<a<1
\[0<a<1:\quad \log_a f > \log_a g \iff 0<f<g\]
Основание меньше 1 — знак неравенства меняется на противоположный.
Сравнение с числом
\[\log_a f > c \iff \log_a f > \log_a a^{c}\]
Число превращаем в логарифм того же основания и сравниваем аргументы по правилу монотонности.
Ежедневные разборы и задачи — в TelegramПодписаться
Как решать: методы
Вычисление логарифмического выражения (задания 6, 9)
Нужно найти числовое значение выражения с логарифмами.
- Приведите все логарифмы к одному основанию (обычно к тому, что в задаче встречается чаще).
- Замените произведения, частные и степени под знаком логарифма суммами и разностями по свойствам.
- Выделите опорные значения: \(log_a a = 1, log_a 1 = 0, log_a a^k = k\).
- Примените основное тождество \(a^{log_a b} = b\), если встречается степень с логарифмом в показателе.
- Сократите и доведите до числа.
Простейшее логарифмическое уравнение (задание 13)
Уравнение вида \(log_a f(x) = c\).
- Запишите ОДЗ: f(x)>0.
- По определению перейдите к f(x) = \(a^{c}\).
- Решите полученное алгебраическое уравнение.
- Отберите корни, удовлетворяющие ОДЗ, и запишите ответ.
Уравнение \(log_a f = log_a g\)
В обеих частях логарифмы с одинаковым основанием.
- Выпишите ОДЗ: f(x)>0 и g(x)>0.
- Приравняйте аргументы: f(x)=g(x).
- Решите уравнение f=g.
- Проверьте каждый корень по ОДЗ (достаточно проверить положительность одного из аргументов).
Метод замены переменной
В уравнении/неравенстве повторяется одно и то же логарифмическое выражение (часто квадрат относительно логарифма).
- Введите t = \(log_a x\) (или иной повторяющийся блок), укажите, что x>0.
- Перепишите уравнение как алгебраическое относительно t и решите его.
- Вернитесь к переменной x: для каждого найденного t решите \(log_a x = t\), то есть x = \(a^{t}\).
- Отберите корни по ОДЗ.
Приведение к одному основанию
В задаче логарифмы с разными основаниями (например, \(log_2 x\) и \(log_4 x\)).
- Выберите базовое основание и по формуле перехода выразите все логарифмы через него.
- Учтите правило \(log_{a^k} b = (1/k) log_a b\) для степеней основания.
- После приведения примените замену переменной или свойства.
- Решите и отберите корни по ОДЗ.
Логарифмическое неравенство (задание 15)
Неравенство вида \(log_a f(x\)) ∨ \(log_a g(x\)) с числовым основанием.
- Запишите ОДЗ: f(x)>0 (и g(x)>0, если есть).
- Определите тип основания: a>1 или 0<a<1.
- При a>1 сохраните знак неравенства между аргументами, при 0<a<1 — поменяйте знак на противоположный.
- Решите полученное рациональное неравенство.
- Пересеките решение с ОДЗ — это и есть ответ.
Неравенство с переменным основанием (метод рационализации)
Основание логарифма содержит x, разбор двух случаев громоздок.
- Выпишите ОДЗ: a(x)>0, a(x)≠1, f(x)>0, g(x)>0.
- Замените разность \(log_{a} f - log_{a} g\) на равносильное выражение по правилу знаков: знак \(log_{a} f - log_{a} g\) совпадает со знаком (a-1)(f-g).
- Решите полученное рациональное неравенство методом интервалов.
- Пересеките с ОДЗ и запишите ответ.
Логарифмирование уравнения
Показательно-степенное уравнение вида \(f(x)^{g(x)} = h(x\)) или с переменной и в основании, и в показателе.
- Убедитесь, что обе части положительны (это часть ОДЗ).
- Прологарифмируйте обе части по удобному основанию.
- Используйте свойство log \(a^p = p log a\), чтобы опустить показатель.
- Решите полученное уравнение и проверьте корни по ОДЗ.
Типичные ошибки
❌ ошибкаРешают \(log_a f(x) = c\), сразу пишут \(f(x)=a^c\) и не проверяют ОДЗ.
✅ верноВсегда выписывают f(x)>0 и отбирают корни; иногда часть корней посторонняя.
Логарифм определён только для положительного аргумента, поэтому переход к \(a^c\) обязательно сопровождается проверкой.
❌ ошибкаВ неравенстве с основанием 0<a<1 сохраняют знак: из \(log_{0,5} f > log_{0,5} g\) делают f>g.
✅ верноПри основании меньше 1 знак неравенства между аргументами меняется: f<g (и оба положительны).
Логарифмическая функция с основанием из (0;1) убывает, поэтому большему логарифму отвечает меньший аргумент.
❌ ошибкаПишут \(log_a x^2 = 2 log_a x\) без оговорок.
✅ верноВерно \(log_a x^2 = 2 log_a |x|\), так как \(x^2>0\) и при отрицательном x левая часть определена, а \(log_a x\) — нет.
Чётная степень делает аргумент положительным при любом x≠0, поэтому теряются значения x<0, если не поставить модуль.
❌ ошибкаРаскрывают \(log_a(x+y\)) как \(log_a x + log_a y\).
✅ верноСвойство суммы работает только для произведения: \(log_a(xy)=log_a x+log_a y\). Логарифм суммы не раскрывается.
Свойства логарифма связывают произведение/частное со сложением/вычитанием, но не логарифм суммы аргументов.
❌ ошибкаВ уравнении \(log_x(2x-1)=1\) забывают про условие на основание.
✅ верноТребуют x>0, x≠1, 2x-1>0 одновременно, лишь затем решают.
Когда основание переменное, к обычному ОДЗ добавляются условия a>0 и a≠1, иначе логарифм не существует.
❌ ошибкаПосле замены \(t=log_a x\) находят t и записывают его как ответ.
✅ верноОбязательно возвращаются к x: \(x=a^{t}\), и только затем проверяют ОДЗ.
Замена — промежуточный шаг; искомая величина — сама переменная x, а не вспомогательная t.
Коротко
Коротко
- Логарифм существует только для положительного аргумента; основание положительно и не равно 1 — проверяй ОДЗ первым делом.
- $\log_a 1 = 0$ и $\log_a a = 1$ при любом допустимом основании.
- Основание $>1$ — функция растёт, знак неравенства сохраняется; основание из $(0;1)$ — функция убывает, знак меняется.
- $\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$, но $\log_a(x+y)$ не раскрывается.
- $\log_a x^{2}=2\log_a|x|$ — не забывай модуль при чётной степени.
- Число $c$ превращается в логарифм: $c=\log_a a^{c}$ — удобно для сравнения.
- $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ и $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ — переход к новому основанию.
- После замены $t=\log_a x$ обязательно возвращайся к $x=a^{t}$.
Разборы, шпаргалки и ежедневные задачи по теме забирай в нашем боте и Telegram-канале.
Забери бесплатные шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки одним файлом. Плюс ежедневные разборы в канале.
Забрать в боте