Что такое тригонометрическое тождество и почему sin²α + cos²α = 1
Тригонометрическое тождество — это равенство, которое выполняется при всех допустимых значениях переменной. Не при каком-то конкретном угле, а при любом.
Основное тригонометрическое тождество:
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]
До того как разбирать вывод, стоит убедиться, что равенство действительно работает.
α = 30°: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \]
α = 45°: \[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \]
α = 90°: \[ 1^2 + 0^2 = 1 \]
Три разных угла, один результат. Причина в том, что за формулой стоит геометрия — теорема Пифагора.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.
Как взаимодействуют синус и косинус одного угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике с острым углом \(\alpha\), гипотенузой \(c\), противолежащим катетом \(a\) и прилежащим катетом \(b\):
\[ \sin\alpha = \frac{a}{c}, \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c} \]
Ключевой момент в том, как взаимодействуют синус и косинус одного угла в прямоугольном треугольнике: оба отношения используют одну и ту же гипотенузу. По теореме Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Делим обе части на \(c^2\):
\[ \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1 \]
Узнаём знакомые дроби и сразу получаем:
\[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]
Вот и весь геометрический смысл: основное тождество — это теорема Пифагора, переписанная через отношения сторон.
Вывод формулы: почему sin²α + cos²α = 1 всегда
Объяснение через треугольник работает только для острых углов. Но синус и косинус определены для любого угла — нужен более общий подход.
Способ 1. Через единичную окружность
Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат. По определению, для любого угла \(\alpha\) косинус — это абсцисса, а синус — ордината точки \(M\) на ней:
\[ \cos\alpha = x_M, \qquad \sin\alpha = y_M, \qquad M \in \{x^2 + y^2 = 1\} \]
Подставляем в уравнение окружности:
\[ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = x_M^2 + y_M^2 = 1 \]
Это верно для любого \(\alpha\) — отрицательного, больше 360°, какого угодно. Тождество — это буквально уравнение единичной окружности.
Способ 2. Через теорему Пифагора
Для острого угла \(\alpha\) в прямоугольном треугольнике с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\):
\[ a^2 + b^2 = c^2 \;\implies\; \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1 \;\implies\; \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \]
Первый способ строже и охватывает все углы, второй нагляднее и проще запоминается.
Следствия тождества: когда синус «меняется» на косинус и откуда cos/sin = cot
Из основного тождества сразу следуют два равенства для замены одной функции другой:
\[ \sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha, \qquad \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha \]
Понять, когда синус меняется на косинус, помогает формула дополнительного угла. Синус угла равен косинусу его дополнения до 90°:
\[ \sin\alpha = \cos(90° - \alpha), \qquad \cos\alpha = \sin(90° - \alpha) \]
Отсюда \(\sin 30° = \cos 60° = \tfrac{1}{2}\) — и именно поэтому таблица sin и cos симметрична.
Откуда cos/sin = cot
По определению котангенса:
\[ \ctg\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \]
То есть cos/sin = cot — это прямое определение, верное при \(\sin\alpha \neq 0\).
Следствия от деления тождества
Разделим обе части тождества на \(\cos^2\alpha\) (при \(\cos\alpha \neq 0\)):
\[ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \implies \tg^2\alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \]
Разделим на \(\sin^2\alpha\) (при \(\sin\alpha \neq 0\)):
\[ 1 + \ctg^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha} \]
Таблица значений sin и cos для основных углов
Стандартная sin cos таблица охватывает пять углов первой четверти. Удобный способ запомнить: синус углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° равен \(\tfrac{\sqrt{0}}{2}, \tfrac{\sqrt{1}}{2}, \tfrac{\sqrt{2}}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}, \tfrac{\sqrt{4}}{2}\). Синус и косинус таблица симметрична — значения косинуса идут в обратном порядке.
| Угол | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) | Проверка \(\sin^2 + \cos^2\) | |------|---------------|---------------|------------------------------| | 0° | \(0\) | \(1\) | \(0 + 1 = 1\) ✓ | | 30° | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\) ✓ | | 45° | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\) ✓ | | 60° | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\) ✓ | | 90° | \(1\) | \(0\) | \(1 + 0 = 1\) ✓ |
Симметрия таблицы неслучайна: строки 30° и 60° — зеркальные. Это прямое следствие формулы \(\sin\alpha = \cos(90° - \alpha)\).
Коротко
- Синус и косинус 45° совпадают: оба равны \(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\)
- Сумма квадратов в каждой строке таблицы равна 1 — тождество работает
- Таблицу достаточно запомнить для sin — cos читается в обратном порядке
- При 0° и 90° одна функция равна 0, другая равна 1 — предельные случаи
По этой теме есть отдельный разбор: таблица значений синусов и косинусов.
Применение в задачах ЕГЭ и ОГЭ: типичные схемы
Задача 1. Найти cos α, если \(\sin\alpha = \tfrac{3}{5}\) и \(\alpha\) — острый угол
\[ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \]
\[ \cos\alpha = \pm\frac{4}{5} \]
Поскольку \(\alpha\) острый, \(\cos\alpha > 0\), значит \(\cos\alpha = \dfrac{4}{5}\). Знак всегда определяется по четверти.
Задача 2. Упростить \(\sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha\)
\[ \sin^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha = \sin^2\alpha\underbrace{(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)}_{=1} = \sin^2\alpha \]
Вынести общий множитель и применить тождество — стандартный приём при упрощении.
Задача 3. Упростить \(\dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha}\) при \(\sin\alpha \neq 0\)
\[ \frac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha \]
Задача 4. Уравнение с заменой переменной
Уравнение \(2\sin^2 x - \cos x - 1 = 0\) решают, заменяя \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):
\[ 2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0 \implies 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0 \]
Понимание тождества — ключ к этому методу: именно оно позволяет свести уравнение с двумя функциями к одной.
- Замена переменной через основное тождество
- Шаг 1. Выразить одну функцию через другую с помощью \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\)
- Шаг 2. Ввести замену \(t = \cos x\) или \(t = \sin x\), обязательно указав \(t \in [-1;\,1]\)
- Шаг 3. Решить квадратное уравнение и отбросить корни вне \([-1;\,1]\)
- Шаг 4. Для каждого допустимого \(t\) решить простейшее тригонометрическое уравнение
По этой теме есть отдельный разбор: формулы тригонометрии для ЕГЭ.
Частые ошибки при работе с основным тождеством
Основное тождество — удобный инструмент самопроверки. Если в промежуточной записи появилось \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\), это единица. Если результат не упрощается до известных формул — скорее всего, где-то применена одна из ошибок выше.
Частые вопросы
Как взаимодействуют синус и косинус одного угла в прямоугольном треугольнике?
Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего к той же гипотенузе. Оба делятся на одно и то же число, поэтому по теореме Пифагора \(a^2 + b^2 = c^2\) немедленно следует \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Тождество — это теорема Пифагора в другой записи.
Когда синус меняется на косинус и наоборот?
При переходе к дополнительному углу: \(\sin\alpha = \cos(90° - \alpha)\). Это проявляется в таблице значений — строки 30° и 60° зеркально симметричны. Также при формулах приведения: аргументы вида \(90° \pm \alpha\) и \(270° \pm \alpha\) переводят синус в косинус и наоборот; знак определяется по четверти исходного угла.
Как вывести основное тригонометрическое тождество?
Два пути. Через единичную окружность: точка на ней имеет координаты \((\cos\alpha,\, \sin\alpha)\), а уравнение окружности \(x^2 + y^2 = 1\) сразу даёт тождество — и для любого угла, не только острого. Через теорему Пифагора: деление \(a^2 + b^2 = c^2\) на \(c^2\) даёт \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) для острого угла прямоугольного треугольника.
Чему равно cos/sin и как это следует из тождества?
\(\cos\alpha / \sin\alpha = \ctg\alpha\) — это определение котангенса, верное при \(\sin\alpha \neq 0\). Из тождества, разделённого на \(\sin^2\alpha\), следует \(1 + \ctg^2\alpha = \tfrac{1}{\sin^2\alpha}\) — дополнительное соотношение, полезное в задачах с котангенсом.
Как по таблице sin и cos проверить тождество?
Для каждого угла из таблицы вычислить \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha\) и убедиться, что результат равен 1. Например, для 30°: \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} = 1\). Все пять строк дают один результат — это и есть наглядное подтверждение того, что тождество не зависит от конкретного угла.
По этой теме есть отдельный разбор: теорема Пифагора.
Забери шпаргалки по всем темам ЕГЭ
Формулы, методы и типовые ошибки — одним файлом в боте.